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뒤집어진 도형
곡면은 위상 기하학(topology)이라는 수학 분야의 토대가 되었다. 위상 기하학은 20세기 중반(1925~1975년)에 수학의 발달에서 중요한 분야 중 하나가 되었다. 가우스와 리만이 보여줬듯이 곡면은 n차원의 공간에 존재하지만, 그들 자신은 2차원을 갖고 있을 뿐이다. 2차원의 면들을 비틀어서 3차원인 것처럼 보이는 도형으로 만들 수도 있는데 이 도형들은 신기하게도 안과 밖의 구분이 없는 이례적 현상을 만들어낸다.
이러한 아이디어의 가장 단순한 예는 뫼비우스의 띠이다. 뫼비우스의 띠는 종이 띠를 한 번 비튼 후 그 끝을 맞붙인 것이다. 이 종이 띠에는 면이 하나밖에 없다. 이 띠의 면을 손가락으로 따라가다보면 손가락을 떼지 않은 상태로 양쪽 면 모두를 통과하게 된다.
클라인의 항아리는 더 높은 차원이 필요한 이러한 원칙을 확장한 것이다. 클라인의 항아리는 수학적 모형에 따라 자신의 면과 반드시 교차하지만, 4차원의 공간에 존재할 때는 교차되지 않는다. 이 도형의 내부는 끊어지지 않고 바깥이 된다. 클라인의 항아리를 잘라서 두 개의 뫼비우스 띠로 만들 수 있다.
네덜란드 예술가인 에셔는 불가능한 면과 구조라는 아이디어를 가지고 몇 개의 그림을 그렸다. 펜로즈 삼각형은 스웨덴의 예술가인 오스카 로이터스바르드가 1934년에 최초로 그렸고, 1950년대에 수학자 로저 펜로즈에 의해 유명해졌다. 펜로즈는 이것을 ‘가장 순수한 형태의 불가능’이라고 불렀다.
이야기는 계속된다
불가능할 것으로 여겨졌던 기하학은 사실 그리 불가능하지 않다는 것이 밝혀졌다. 또한 시각적으로 나타낼 수 없다고 해서 존재하지 않는 것은 아니란 사실도 밝혀졌다. 3차원의 공간을 평면의 지도로 나타낼 수 있었던 것처럼, 정말 필요한 것은 일관되고 확실한 방법이다. 특히 3차원 이상의 공간에서 이러한 것들을 나타낼 수 있는 방법은 좌표계를 사용하는 것이었다. 이 좌표계는 대수학을 이용해 수학적으로 연구하고 조작할 수 있었다.
대수학과 기하학은 17세기까지 상당 부분 상호작용해가며 각각 발달했다. 그 이후 두 명의 프랑스인이 놀라운 연구를 통해 대수학과 기하학을 접목시켰고 리만의 기하학과 또 다른 비유클리드 기하학이 만들어지는 데 필요한 도구를 제공했다.
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